|
Философы называют подобные ощущения «первичными», некоторые из них даже считают, что наше ощущение свободы воли на самом деле представляет собой первичное ощущение того, как мозг принимает решения. Выбирая из нескольких вариантов, мы уверены, что действительно свободны в своем выборе, — хотя не исключено, что динамика мозга в каком-то смысле детерминирована. Тогда платонизм — это первичное ощущение участия в общечеловеческом процессе, ограниченном жесткими рамками логических построений.
Так что может показаться, что математика обладает собственным сознанием, даже если на самом деле она создается коллективной интеллектуальной деятельностью людей. История учит нас, что математическое сознание — в этом смысле — более изобретательно и удивительно, чем можно себе представить. Все это лишь подходы к моему главному утверждению: единственное, что можно с уверенностью предсказать в математике, это ее непредсказуемость. Важнейшие математические вопросы начавшегося столетия возникнут как естественные, иногда даже неизбежные, следствия накопления наших знаний о нынешних великих задачах математики. Однако почти наверняка это будут вопросы, которые никто сегодня не может даже вообразить. Это верно и правильно, и нам нужно этому радоваться.
17. Двенадцать задач на будущее
Не хочу оставить у вас неверное впечатление, что большинство математических задач (за исключением нескольких особенно сложных) уже решено. Математические исследования напоминают изучение новооткрытого материка. По мере того как расширяется уже исследованная область, становится длиннее и граница между известным и неизвестным. Я не утверждаю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем меньше знаем. Я говорю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем лучше представляем себе объемы непознанного. Но непознанное изменяется со временем: одни задачи уходят в прошлое, на горизонте появляются другие. А область известного только расширяется, если, конечно, не говорить о случайно утерянных документах. Чтобы дать вам некоторое представление о том, чего мы не знаем в настоящий момент (помимо тех проблем, о которых мы уже говорили), я приведу 12 нерешенных задач, которые уже некоторое время ставят в тупик математиков всего мира. Я выбрал их таким образом, чтобы несложно было понять суть вопроса. Мы уже видели, что простота формулировок ничего не говорит о том, насколько легким или сложным может быть доказательство. Некоторые из этих проблем еще могут обернуться великими: это будет зависеть в основном не от ответа на вопрос, а от того, какие методы будут придуманы и применены для их решения и к чему соответствующие исследования в конце концов приведут.
Задача Брокара
Для любого целого числа n факториал n! равен произведению
n × (n — 1) × (n — 2) × … × 3 × 2 × 1. Это число различных способов расставить по порядку n объектов. К примеру, английский алфавит, содержащий 26 букв, можно расставить
26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000
разными способами. В статьях, опубликованных в 1876 и 1885 гг., Анри Брокар отметил, что
4! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²,
5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²,
7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 = 71² представляют собой полные квадраты. Он не обнаружил других факториалов, которые при прибавлении единицы давали бы полный квадрат, и задался вопросом, существуют ли такие. Индийский гений-самоучка Шриниваса Рамануджан независимо задался этим же вопросом в 1913 г. В 2000 г. Брюс Берндт и Уильям Голуэй при помощи компьютера показали, что для факториалов чисел до 1 млрд других решений не существует. |
