На какое-то время задача о четырех красках полностью пропала из виду, но в 1878 г. Артур Кейли упомянул ее на заседании Лондонского математического общества, и она вновь вызвала интерес. Несмотря на название, Общество это представляло всю британскую (или по крайней мере всю английскую) математику, а его основателем был де Морган. Кейли поинтересовался, удалось ли кому-нибудь получить решение этой задачи, и вскоре после заседания его вопрос был опубликован в журнале Nature. Годом позже он опубликовал обширную статью на эту тему в «Трудах Королевского географического общества». Поскольку речь в задаче вроде бы шла о картах, издание показалось подходящим для публикации. Может быть, статью автору даже заказали. Но на самом деле выбор оказался не слишком удачным — ведь картографам решение этой задачи не нужно и не интересно, разве что из чистого любопытства. По той же причине, к несчастью, мало кто из математиков заметил эту статью, а жаль: в ней Кейли объяснил, почему задача может оказаться сложной.

В главе 1 я писал, что доказательство чем-то напоминает сражение. В военном деле четко различаются тактика и стратегия. Тактика — это искусство выигрывать локальные сражения, а стратегия определяет общую структуру кампании. Тактика определяет передвижение каждой войсковой части; стратегия формирует обширные планы, в рамках которых на каждой стадии возможны самые разные тактические решения. Статья Кейли не блистала тактическими находками, но содержала легчайший намек на стратегию, которая по прошествии времени позволила расколоть этот орешек и решить задачу о четырех красках. Кейли заметил, что добавление областей последовательно, по одной, ничего не дает, если следовать очевидному ходу рассуждений. Но, может быть, если найти другой, менее очевидный ход, из этого что-нибудь получится.

Предположим, мы возьмем произвольную карту и уберем оттуда одну область — сольем ее с соседней или сожмем в точку. Предположим также, что получившуюся карту можно раскрасить в четыре цвета, и мы так и сделаем. А теперь вернем удаленную область на место. Если нам повезет, ее соседи окажутся раскрашенными только в три цвета. Тогда нам останется всего лишь закрасить восстановленную область четвертым — свободным — цветом. Кейли указал, что эта процедура может и не сработать, поскольку соседи нашей области могут оказаться раскрашенными в четыре разных цвета. Но это не означает, что все плохо. Такое препятствие можно обойти двумя способами: сделать вывод либо о том, что мы выбрали не ту область, либо о том, что мы неверно раскрасили уменьшенную карту.

Действуя на основании ничем не подтвержденных предположений (это очень эффективный способ формирования рабочих идей, хотя в какой-то момент их все равно придется обосновать), считаем, что подобные препятствия всегда устранимы. Тогда получается, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета, если известно, что некую меньшую карту можно так раскрасить. Может показаться, что такой вывод ничего нам не дает: как мы узнаем, что какую-то меньшую карту можно раскрасить нужным образом? Ответ в том, что эту же процедуру можно применить к меньшей карте, а затем к еще меньшей карте… и т.