Почему для снежинок характерна шестилучевая симметрия? Этим вопросом 400 лет назад задался один из великих математиков и астрономов XVII в. — и после некоторых размышлений нашел на него ответ. Поразительно верный ответ, тем более что ученый при этом не проводил никаких особых экспериментов. Он просто свел воедино несколько простых общеизвестных мыслей. К примеру, о том, как располагаются зернышки в гранате.

Этого человека звали Иоганн Кеплер, и у него был очень хороший повод задуматься о снежинках. Жизнь и работа ученого в те времена часто зависели от богатого покровителя, и для Кеплера таковым был Иоганн Вакер фон Вакенфельс. В то время Кеплер служил придворным математиком императора Священной Римской империи Рудольфа II, а Вакер, дипломат, был советником императора. Кеплер хотел сделать своему покровителю новогодний подарок. В идеале он должен был быть недорогим, необычным и занимательным — и приоткрыть перед Вакером дверь в мир замечательных открытий, которые стали возможны благодаря его деньгам. Так что Кеплер собрал свои мысли о снежинках в небольшую книгу, которая и должна была стать подарком. Называлась она «О шестиугольных снежинках» (De Nive Sexangula). Шел 1611 г. В этой книге содержалось короткое замечание (один из основных шагов в рассуждениях Кеплера), и сформулированную в нем математическую загадку никому не удавалось решить на протяжении 387 лет.

Кеплер имел огромный опыт поиска закономерностей. Его важнейшая научная работа — открытие трех фундаментальных законов движения планет. Первый и самый известный из них гласит, что орбиты планет представляют собой эллипсы. Кроме того, Кеплер был мистиком и приверженцем учения пифагорейцев о том, что Вселенная основана на числах, закономерностях и математических формах. Помимо астрономии, он занимался астрологией: математики в те времена нередко выдавали себя за астрологов, поскольку обладали необходимой квалификацией и могли рассчитать, когда асцендент находится в Водолее. Богатые покровители и короли заказывали им составление гороскопов.

В своей книге Кеплер указал, что снег возникает из водяного пара, который сам по себе не имеет формы, но каким-то образом превращается в твердые снежинки с шестилучевой симметрией. Для такого перехода должна быть какая-то причина, считал Кеплер:

«Позволительно спросить, каково это действующее начало, как оно действует, является ли форма искони присущей телу или приобретается под влиянием внешних воздействий, принимает ли материал шестиугольную форму в силу необходимости или по своей природе и что следует считать врожденным: воплощенный в шестиугольном архетип красоты или знание цели, к которой приводит эта форма?»

В поисках ответа на этот вопрос Кеплер рассматривает другие примеры шестиугольных форм в природе. В первую очередь на ум приходят пчелиные соты. Они формируются из двух слоев шестиугольных ячеек, составленных «впритык», так что общие их концы образуют три ромба, т. е. параллелограммы, у которых все четыре стороны одинаковы. Такая форма напомнила Кеплеру о теле, известном как ромбический додекаэдр (см. рис. 15). Это тело не входит в перечень пяти правильных тел, известных пифагорейцам (их систематизировал Евклид), но обладает интересным отличительным свойством: одинаковыми ромбическими додекаэдрами можно полностью, без зазоров заполнить пространство. Эта же форма возникает внутри граната, где маленькие округлые зернышки растут в тесноте и потому вынуждены «изобретать» эффективную упаковку.

Как всякий разумный математик, Кеплер начинает с простейшего случая, при котором сферы (шарики) образуют единственный плоский слой. По существу, это то же самое, что упаковывать одинаковые кружочки на плоскости. Он находит всего две правильные конфигурации. В одной круги укладываются в квадраты (см.