|
Он находит всего две правильные конфигурации. В одной круги укладываются в квадраты (см. рис. 16 слева); в другой — в равносторонние треугольники (см. рис. 16 справа). Эти конфигурации, повторяемые на бесконечной плоскости, образуют квадратную решетку и треугольную решетку. Слово «решетка» говорит об их пространственной периодичности, повторяющейся в двух независимых направлениях. На рисунке по объективным причинам показаны лишь конечные участки решетки, поэтому на края не нужно обращать внимания. То же можно сказать про размещенные ниже рис. 17–20. На рис. 16 слева и справа показано по пять рядов кругов, и в каждом ряду они соприкасаются с соседями. Однако треугольная решетка немного сплюснута, и ее ряды располагаются ближе друг к другу. Так что круги в треугольной решетке упакованы плотнее, чем в квадратной.
Далее Кеплер задается вопросом, как такие слои можно уложить один на другой, и рассматривает четыре случая. В первых двух все слои уложены по квадратной решетке. При укладывании в стопку шарики каждого ряда можно поместить точно над шариками нижнего ряда. Тогда у каждого шарика будет по шесть непосредственных соседей: четыре в своем слое, один сверху и один снизу. Такая упаковка похожа на трехмерную шахматную доску, сделанную из кубиков; в нее она, кстати, и превратится, если надуть шарики так, чтобы дальше расширяться им было уже некуда. Но это, говорит Кеплер, «не самая плотная упаковка». Ее можно сделать еще плотнее, если сдвинуть верхний слой по диагонали так, чтобы его шарики точно легли во впадины между шариками нижнего слоя (см. рис. 17 слева). Повторим этот процесс для всех слоев (см. рис. 17 справа). Теперь у каждого шарика по 12 соседей: четыре в своем слое, четыре вверху и четыре внизу. Если их надуть, пространство заполнится ромбическими додекаэдрами. В двух других случаях слои складываются по гексагональной решетке. Если при складывании в стопку поставить шарик над шариком, у каждого шарика будет по восемь соседей: шесть в своем слое, один вверху и один внизу. Опять же шарики верхнего слоя можно поставить над промежутками в нижнем. Тогда у каждого из них будет по 12 соседей: шесть в собственном слое, три вверху и три внизу. Количество соседей такое же, как во втором варианте упаковки квадратных слоев, и Кеплер, проведя тщательный геометрический анализ, показывает, что в реальности этот вариант упаковки полностью совпадает со вторым. Единственная разница заключается в том, что квадратные слои лежат не горизонтально, а под углом. Кеплер пишет: «Таким образом, самая плотная трехмерная упаковка с треугольной решеткой не может существовать без квадратной решетки, и наоборот». К этому я еще вернусь: это важно.
Разобравшись с базовой геометрией упаковки шариков, Кеплер возвращается к снежинке с ее шестилучевой симметрией. Шестигранник напоминает ему о треугольной решетке упаковки шариков на плоскости, в которой каждый шарик соседствует с шестью другими, образуя идеальный шестиугольник. В этом, делает вывод Кеплер, должно быть, и заключается причина шестиконечности снежинок. Эта глава посвящена, строго говоря, не снежинкам, но данное Кеплером объяснение их симметричности очень похоже на то, что предложили бы сегодня мы, так что стыдно было бы остановиться на этом. Почему они такие разные, но при этом все симметричны? Когда вода кристаллизуется, образуя лед, атомы водорода и кислорода, из которых состоят молекулы воды, укладываются в симметричную структуру — кристаллическую решетку. Эта решетка сложнее любой кеплеровой конструкции из шариков, но строится тоже на основе шестилучевой симметрии. Снежинка растет от крохотного «зернышка» всего из нескольких атомов, организованных в виде маленького кусочка решетки. Это зернышко тоже обладает шестилучевой симметрией; именно оно подготавливает сцену для роста ледяного кристалла в грозовой туче, где ветер бросает миллионы этих кристаллов из стороны в сторону. |
