p = 1, 524, 157, 875, 323, 883, 675, 049, 535, 156, 256, 668, 194, 500, 533, 455, 762, 536, 198, 787, 501, 905, 199, 875, 019, 052, 101

x = 1, 234, 567, 890, 123, 456, 789, 012, 345, 678, 901, 234, 567, 890.

В 1997 г. Джон Фридлендер и Хенрик Иванец доказали, что существует бесконечно много простых чисел вида x² + y⁴ для целых x, y. Первые из этого ряда: 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401 и 457. Иванец доказал, что существует бесконечно много чисел вида x² + 1, имеющих не более двух простых множителей.

Близко, но не то.

Гипотеза Лежандра

Адриан-Мари Лежандр предположил, что для любого положительного n существует простое число, лежащее между n² и (n + 1)². Это утверждение могло бы быть следствием из гипотезы Андрики (см. выше) и гипотезы Опперманна (см. ниже). Из гипотезы Крамера (см. выше) следует, что гипотеза Лежандра верна для всех достаточно больших чисел. Известно, что она верна вплоть до 1018.

Гипотеза Лемуана, или гипотеза Леви

Все нечетные целые числа, большие 5, могут быть представлены как сумма нечетного простого числа и удвоенного простого числа (Émile Lemoine, 1894, Hyman Levy, 1963).

Д. Корбитт подтвердил эту гипотезу вплоть до 10⁹.

Гипотезы Мерсенна

В 1644 г. Марен Мерсенн объявил, что числа 2ⁿ – 1 являются простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составными для всех остальных положительных целых n<257. Позже было показано, что Мерсенн допустил пять ошибок: n = 67 и 257 дают составные числа, а n = 61, 89, 107 дают простые. Гипотеза Мерсенна привела к созданию новой гипотезы Мерсенна и гипотезы Ленстры – Померанца – Вагстаффа, которые значатся в нашем перечне следующими.

Новая гипотеза Мерсенна, или гипотеза Бейтмана– Селфриджа – Вагстаффа

Для любого нечетного p если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

1. p = 2^k ± 1 или p = 4^k ± 3 для некоторого натурального числа k;

2. число 2^p − 1 – простое (простое Мерсенна);

3. число (2^p + 1)/3 – простое (простое Вагстаффа).

(Paul Bateman, John Selfridge and Samuel Wagstaff Jr., 1989)

Гипотеза Ленстры – Померанца – Вагстаффа

Существует бесконечное число простых Мерсенна, причем число простых Мерсенна, меньших x, приблизительно равно eγ ln ln x/ln 2, где γ – постоянная Эйлера, приблизительно равная 0,577 (Hendrik Lenstra, Carl Pomerance and Samuel Wagstaff Jr., не опубликовано).

Гипотеза Опперманна

Для любого целого числа n>1 существует по крайней мере одно простое число между n (n – 1) и n² и по крайней мере еще одно простое число между n² и n (n + 1) (Ludvig Henrik Ferdinand Oppermann, 1882).

Гипотеза Полиньяка

Для любого положительного четного n существует бесконечное число пар последовательных простых чисел с разницей в n (Alphonsede Polignac, 1849).

Для n = 2 это утверждение соответствует гипотезе о простых числах-близнецах (см. ниже). Для n = 4 она означает, что существует бесконечно много пар «двоюродных простых чисел» (p, p + 4). Для n = 6 она означает, что существует бесконечно много пар простых чисел (p, p + 6), известных как sexy (от латинского названия числа 6); при этом между числами p и p + 6 простых чисел нет.

Гипотеза Редмонда – Суня

Всякий интервал [x^m, yⁿ] (то есть любое множество чисел от x^m до yⁿ) содержит по крайней мере одно простое число, за исключением [2³, 3²], [5², 3³], [2⁵, 6²], [11², 5³], [3⁷, 13³], [5⁵, 56²], [181², 21⁵], [43³, 282²], [46³, 312²], [22434², 55⁵] (Stephen Redmond and Zhi-Wei Sun, 2006).