Гипотеза Редмонда – Суня

Всякий интервал [x^m, yⁿ] (то есть любое множество чисел от x^m до yⁿ) содержит по крайней мере одно простое число, за исключением [2³, 3²], [5², 3³], [2⁵, 6²], [11², 5³], [3⁷, 13³], [5⁵, 56²], [181², 21⁵], [43³, 282²], [46³, 312²], [22434², 55⁵] (Stephen Redmond and Zhi-Wei Sun, 2006).

Эта гипотеза подтверждена для всех интервалов [x^m, yⁿ] до 10¹².

Вторая гипотеза Харди – Литтлвуда

Если π (x) есть число простых чисел вплоть до x, включая x, то π (x + y) ≤ π (x) + π (y) для x, y ≥ 2 (Godfry Harold Hardy and John Littlewood, 1923).

Существуют технические соображения, согласно которым можно ожидать, что это предположение окажется ложным, но первое нарушение возникнет, скорее всего, при очень больших величинах x, вероятно, больших, чем 1,5 × 10¹⁷⁴, но меньших, чем 2,2 × 10¹¹⁹⁸.

Гипотеза о простых числах-близнецах

Существует бесконечно много простых чисел p, таких, что число p + 2 тоже простое.

25 декабря 2011 г. PrimeGrid – «проект распределенных вычислений», в котором используются свободные ресурсы на компьютерах добровольцев, пожелавших принять в нем участие, объявил наибольшую известную на сегодняшний день пару простых чисел-близнецов:

3 756 801 695 685 × 2^{666 669} ± 1.

Каждое из этих чисел содержит 200 700 знаков.

В интервале до 10¹⁸ содержится 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.

Оптимальная пирамида

Стоит подумать о Древнем Египте, и в голову сразу же приходят пирамиды, в первую очередь Великая пирамида Хеопса в Гизе, самая большая из всех, и стоящая рядом с ней пирамида Хефрена, чуть поменьше, и относительно небольшая пирамида Микерина. Известны остатки более чем 36 крупных и сотен более мелких египетских пирамид – от громадных и почти полностью сохранившихся до простых отверстий в земле, содержащих лишь несколько обломков камня от погребальной камеры, а иногда и того меньше.

О форме, размерах и ориентации пирамид написаны огромные тома. Большая часть их содержимого умозрительна; на основе различных численных соотношений выстраиваются весьма амбициозные цепочки рассуждений. Особенно любят исследователи Великую пирамиду: с чем только ее ни связывали – и с золотым сечением, и с числом π, и даже со скоростью света. К подобным рассуждениям возникает столько вопросов, что трудно воспринимать их серьезно: в любом случае данные, на которых они основаны, часто неточны; к тому же с таким количеством измерений и параметров всегда можно подобрать нужную комбинацию.

Один из лучших источников по пирамидам – книга The Complete Pyramids Марка Ленера. Помимо прочего в ней можно найти данные о наклоне граней пирамид: углы между плоскостями, проходящими через треугольные грани, и квадратным основанием пирамиды. Вот несколько примеров:

Более обширные данные вы можете найти на сайте

На ум приходят два наблюдения. Первое состоит в том, что приводить некоторые из этих углов с точностью до угловой секунды (а остальные до минуты) неразумно. Сторона основания Черной пирамиды Аменемхета III в Дашуре составляет 105 м, а высота – 75 м. Изменение угла наклона грани пирамиды на одну угловую секунду соответствует изменению высоты пирамиды на один миллиметр.