– Так что мы можем выразить 30 и 31 с использованием всего лишь двух единиц, – сказал я. – А именно:

– Ни то ни другое, разумеется, не помогает нам выразить 7 и 8 через две единицы, но если бы мы могли это сделать, то расширили бы диапазон наших чисел до 31 + 1, то есть до 42. И все это говорит о том, что нам, как вы столь убедительно сказали, Сомс, следует действовать систематически. Я предлагаю теперь исследовать многократное извлечение квадратного корня из факториала чисел, которые мы можем выразить через две единицы.

– Согласен! И совершенно очевидно, – заявил тут же Сомс, – что такое выражение для 7 сразу же даст нам выражение для 8.

– Э-э… правда?

– Естественно. Поскольку 7! = 5040, квадратный корень из этого числа равен 70,99, а следующий квадратный корень равен 8,42, мы делаем вывод, что

– Так что не впервые в истории человечества ключом к загадке является число 7! (В этих словах, дорогой читатель, он подчеркивал число 7 восклицательным знаком, а не имел в виду факториал. Пожалуйста, обратите на это внимание, я об этом уже упоминал.)

Сомс нахмурился.

– Я могу сделать это, если использую двойной факториал.

– Вы имеете в виду факториал факториала?

– Нет.

– Субфакториал? Вы пока не объяснили…

– Нет. Двойной факториал – это немного запутанная штука; он равен

n!! = n× (n – 2) × (n – 4) × … × 4 × 2

для четных n и n!! = n× (n – 2) × (n – 4) × … × 3 × 1

для нечетных. Так, к примеру,

6!! = 6 × 4 × 2 = 48.

Корень квадратный из этого числа равен 6,82, а его потолок равен 7.

Я послушно записал:

Но Сомс по-прежнему выглядел недовольным.

– Проблема в том, Ватсап, что при помощи введения все более загадочных и вычурных арифметических функций можно с легкостью выразить вообще любое число. К примеру, мы могли бы воспользоваться арифметикой Пеано.

Я шумно запротестовал:

– Сомс, вы же знаете, что наша хозяйка не устает жаловаться на ваш кларнет. Она никогда не позволит поставить к нам пианино!

– Я говорил о Джузеппе Пеано, так звали итальянского математика и специалиста по логике, Ватсап.

– Откровенно говоря, не такая уж большая разница. Я не уверен, что миссис Сопсудс…

– Тихо! Согласно арифметической аксиоматике Пеано, наследником любого целого числа является число

s (n) = n + 1.

– Так что Пеано вполне мог бы записать:

1 = 1,

2 = s (1),

3 = s (s (1)),

4 = s (s (s (1))),

5 = s (s (s (s (1)))),

и эта последовательность будет продолжаться до бесконечности. В этой системе любое целое число можно выразить при помощи всего одной единицы. Или даже одного нуля, поскольку 1 = s (0). Это слишком тривиально, Ватсап.

Сможете ли вы найти способ записать 7 с использованием только двух единиц, не прибегая ни к чему более экзотическому, чем функции, которые Сомс и Ватсап использовали прежде, чем начали спорить о двойных факториалах и наследниках? Ответ см. «Загадки разгаданные».