В театре оперы и балета Эсамбаев проработал 12 лет, после чего в июне 1956 года решил уйти на эстраду: перешел в Киргизскую филармонию. Однако первые же гастроли Эсамбаева по Уралу стали и его последними выступлениями в этой филармонии. После одного из концертов за кулисы пришел представительный мужчина, который предложил Эсамбаеву перейти в Москонцерт. Отказаться от такого заманчивого предложения было равносильно самоубийству. Хотя первое время Эсамбаеву пришлось в столице несладко.

Когда Эсамбаев приехал в Москву, на вокзале его никто не встретил. В итоге артисту пришлось первую ночь коротать на скамеечке на Курском вокзале. А потом он случайно встретил на улице своего давнего знакомого Льва Крамаревского, и тот, узнав, что Эсамбаеву негде ночевать, взял его к себе на постой. На этом полоса везения Эсамбаева не закончилась. Вскоре он познакомился с известным балетмейстером Элеонорой Грикуровой и попросил ее помочь ему поставить индийский танец. «Хочу выступать с ним на эстраде», – сказал Эсамбаев. Но Грикурова посмотрела на эту идею скептически: «В ваши 32 года вам уже поздно танцевать индийские танцы». Эта фраза задела Эсамбаева, и он решил доказать, что балетмейстер не права. И на глазах у изумленной Грикуровой стал выделывать такие «коленца», что балетмейстер была поражена. И согласилась его обучать. Так на свет явился их совместный танец в стиле Бхарат-Натья «Золотой бог». Успех его был настолько ошеломительный, что в народе пошли слухи, будто танцор – чистокровный индиец по имени Али Мухаммед Султан. Когда эти слухи дошли до самого Эсамбаева, он немедленно внес в это дело ясность: вышел на одном из концертов на сцену и объявил, что он не индиец, а чеченец. Однако на его популярности это нисколько не отразилось: билеты на его выступления в кассах невозможно было достать. Однажды даже знаменитый балетмейстер Игорь Моисеев пришел на его концерт и выразил восхищение работой Эсамбаева на сцене. С этим танцем Эсамбаев покорил и зрителей Международного конкурса по народному и характерному танцу, который проводился в рамках VI Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Москве летом 1957 года. Стоит отметить, что в этом конкурсе участвовали 3109 человек из 47 стран мира и 945 из них были награждены медалями. Две из этих медалей достались Эсамбаеву.

Спустя месяц после фестиваля, 22 августа 1957 года, Эсамбаев выполнил обещание, данное им когда-то его учительнице по математике Доре Васильевне. Он пригласил ее на свой концерт в помещении Чечено-Ингушского драмтеатра и посадил на первый ряд. И весь концерт старенькая учительница проплакала: она никак не могла поверить в то, что бывший двоечник и оборванец по прозвищу «внук Робинзона Крузо» стал таким выдающимся артистом.

После триумфа на фестивале кинорежиссер Фахри Мустафаев снял на кинопленку несколько танцев Эсамбаева, и этот фильм показывали не только в Советском Союзе, но и за рубежом. С этого момента Эсамбаева стали приглашать на гастроли за границу. В 1958 году он отправился в Париж, где произвел настоящий фурор. Тамошние газеты называли его эталоном мужчины: талия – 47 сантиметров, рост – 182, вес – 65. А когда Эсамбаев вернулся на родину, здесь его уже поджидало сразу несколько приятных сюрпризов. Во-первых, он стал депутатом Верховного Совета Чечено-Ингушской АССР, во-вторых, ему было присвоено сразу два звания: народного артиста ЧИАССР и заслуженного артиста РСФСР.

В 1960 году Эсамбаев был удостоен Первой премии на I Всесоюзном конкурсе артистов эстрады. Вскоре после того Эсамбаев выпускает в свет свою новую программу под названием «По странам мира», в которую входит несколько десятков танцев: как советских, так и зарубежных.