|
</style> Семейство геометрий, для которых вышеуказанный апплет вычисляет эволюцию спиновой сети, характеризуется простым правилом: параллельный перенос по прямой из точки <style name="Candara8pt0pt">(х<sub>0</sub>, у<sub>0</sub>,</style><style name="0pt0"> z<sub>0</sub>) </style>в точку <style name="Candara8pt0pt">(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub></style><style name="0pt0">) </style>поворачивает вектор вокруг оси <style name="0pt">а</style> на угол, равный <style name="0pt">магнитуде</style> a, причем
a = k(y<sub>0</sub>z<sub>1</sub> — z<sub>0</sub>y<sub>1</sub>, z<sub>0</sub>x<sub>1 </sub>- x<sub>0</sub>z<sub>1</sub>, x<sub>0</sub>y<sub>1 </sub>- y<sub>0</sub>x<sub>1</sub>)
и k<style name="0pt"> —</style> параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром <style name="0pt">€</style> в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол
Θ<sub>loop </sub>= 2€<sup>2</sup>k.
Эффект голономии для частицы с общим спином <style name="0pt">j</style> определяется унитарной матрицей U<sub>j</sub>. Ее можно получить, использовав соответствующее <style name="0pt">представление </style><style name="11pt0pt">SU(2)</style>- гомоморфизм из группы <style name="0pt">SU</style><style name="0pt">(2)</style> в группу унитарных линейных операторов на гильбертовом пространстве, содержащем спиновое состояние частицы. Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j-спинового представления в 2j-мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином <style name="11pt0pt">1/2).</style>Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения <style name="12pt0pt">т </style>в начале и конце ребра:
a<sub>cdge</sub>(m<sub>s</sub>, m<sub>c</sub>) = [jm<sub>c</sub>|U<sub>j</sub>(R)|jm<sub>s</sub>]
Для любого вращения <style name="11pt0pt">RU<sub>j</sub> (R) </style>действует на дуальные векторы так, что
U<sub>j*</sub>(R)|jm| = |jm|U<sub>j </sub>(R)<sup>-1</sup>
Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j<sub>1</sub>,j<sub>2</sub>, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j<style name="0pt"><sub>3</sub>.</style> Их можно сравнить посредством линейной карты <style name="11pt0pt">С </style>между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:
a<sub>node</sub>(m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub>, m<sub>3</sub>) = [j<sub>3</sub>m<sub>3</sub>|C(|j<sub>1</sub> m<sub>1</sub>] × |j<sub>2</sub> m<sub>2</sub>])
Карта <style name="11pt0pt">С </style>нужна, чтобы эффекты произвольного вращения <style name="11pt0pt">R </style>коммутировали между собой:
C(U<sub>j1</sub>(R)|j<sub>1</sub> m<sub>1</sub>]×U<sub>j2</sub>(R)j<sub>2</sub> m<sub>2</sub>]) = U<sub>j3</sub>(R)C(j<sub>1</sub> m<sub>1</sub>]×|j<sub>2</sub> m<sub>2</sub>])
При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:
a<sub>node</sub>(m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub>, m<sub>3</sub>) = (U<sub>j3</sub>(R)[j<sub>3</sub>m<sub>3</sub>|)C(U<sub>j1</sub>(R)|j<sub>1</sub> m<sub>1</sub>]×U<sub>j2</sub>(R)j<sub>2</sub> m<sub>2</sub>]) = = [j<sub>3</sub>m<sub>3</sub>|U<sub>j3</sub><sup>-1</sup>(R)U<sub>j3</sub>(R)C(j<sub>1</sub> m<sub>1</sub>]×|j<sub>2</sub> m<sub>2</sub>]) = j<sub>3</sub>m<sub>3</sub>|C(|j<sub>1</sub> m<sub>1</sub> × |j<sub>2</sub> m<sub>2</sub>])
Требуя, чтобы <style name="11pt0pt">С </style>удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. |
