Если биения настольно редкие, что их можно различимо услышать, то они создают звуковые комбинации, неприятные для слуха. Наиболее неприятным является, очевидно, 30 биений в секунду. Однако в том случае, когда число биений в секунду больше 60, они взаимопроникают друг в друга, и для человеческого уха их комбинация кажется приятной или гармоничной.

Теперь давайте рассмотрим две ноты, у которых одна имеет частоту точно в два раза больше другой. Например, первая имеет частоту 220/с, а вторая — 440/с; отношение частот равно 1:2. Число биений, когда ноты звучат вместе, равно 440—220, или 220 раз в секунду. Биения дублируют ноту более низкого тона, так что кажется, что две ноты «сплавляются» друг с другом и начинают представлять собой одну и ту же ноту. Они гармонируют друг с другом.

Именно Пифагор был первым, кто заметил, что гармонирующие ноты связаны между собой целочисленными отношениями небольшой величины. У него не было никакой аппаратуры для непосредственного измерения самой частоты, но он рассмотрел струны различной длины. Он обнаружил, что две струны с длинами, относящимися как 1:2, производят приятную комбинацию, так же как струны с соотношением длин 2:3 и 3:4.

(Результаты этих наблюдений за звуком были истолкованы Пифагором с мистической точки зрения. Он рассматривал роль взаимодействия небольших целочисленных отношений в создании благозвучий в соответствии со своими взглядами о том, что вся Вселенная управляется числами. Он и его ученики предполагали, что и сами планеты способны создавать звуки — так называемую «музыку сфер», ноты в которой основаны на их расстояниях относительно Земли. Наука не могла освободиться от этих заблуждений в течение 2000 лет.)

Предположим тогда, что мы начинаем с ноты, частота которой равна 440/с (стандартная частота для музыкантов); назовем эту ноту А. Нота вдвое большей частоты звучит настолько подобно этой, что мы можем предположить, что это — тоже А, то есть мы можем использовать эту букву для обозначения ноты с частотой, равной половине А. Таким образом, фактически мы получим целый ряд значений такого А, с частотами, равными 110/с, 220/с, 440/с, 880/с, 1760/с и так далее, расширяя диапазон, из которого мы выбираем, на неопределенное значение вверх и вниз.

Между любыми двумя последовательными нотами А мы можем поставить другие ноты с частотами, которые состоят в некоторых других последовательных арифметических отношениях к нотам А и друг к другу. Общепринято подставлять в этот интервал шесть других нот; они обозначаются буквами В, С, D, Е, F и G. Таким образом, в интервале от А до А мы имеем ноты: А, В, С, D, E, F, G, А. В интервале от А до А располагаются восемь нот (считая и А), между которыми находятся семь интервалов. Поэтому интервал от А до А называется октавой (от латинского слова, означающего «восьмой».) Другие интервалы называются по-английски. Интервал от С до G (С, D, E, F, G), который включает в себя пять нот, называется «пятым», в то время как интервал от С до F — «четвертым». В нашей стране, да и во всем остальном мире, кроме США, общепринята латинская система обозначения музыкальных интервалов. Согласно ей сама нота С (представляющая собой интервал от себя до себя) называется «прима», интервал от С до D называется «секунда», от С до Е — «терция», от С до F — «кварта», от С до G — «квинта», от С до А — «секста», от С до В — «септима» и, наконец, от С до С — «октава».