Частоты, соответствующие нотам, в диапазоне от А (220/с) до А (880/с):

Диапазон от 220/с до 440/с составляет одну октаву, а диапазон от 440/с до 880/с — другую октаву. Каждая нота в верхней октаве представляет собой удвоенную по частоте соответствующую ноту в более низкой октаве, так что интервал от В до В представляет собой октаву, так же как интервал от С до С, от D до D и так далее. Если вы запомните, что удвоение частоты создает ноты для каждой следующей более высокой октавы, а деление пополам — ноты для каждой более низкой октавы, вы сможете написать частоты для любой ноты в любой октаве.

Если мы послушаем ноты, идущие последовательно в пределах любой октавы, то обнаружим, что они звучат точно так же, как соответствующие ноты в пределах любой другой октавы: выше или ниже. Стандартная клавиатура фортепьяно охватывает диапазон немногим более семи октав; если мы будем нажимать одну за другой белые клавиши, то легко обнаружим, что одна и та же «мелодия» последовательно будет повторяться семь раз, только переходя на все более высокие тоны звуков.

Все частоты связаны между собой отношениями, которые могут быть выражены в небольших целых числах. Отношение G к С, например, равно 396:264, или 3:2; а отношение F к С равно 352:264, или 4:3. Именно эти простые отношения изучал Пифагор, и именно простота отношений обосновывает величину биений, при которых ноты «укрепляются» и хорошо «смешиваются» между собой. Именно поэтому квинты (3:2) и кварты (4:3) очень часто используются для построения благозвучных интервалов между последовательными нотами.

Но тогда также и отношения между тремя нотами (сочетание которых называется «основным трезвучием» или «аккордом»), С, Е и G, равное 264:330:396, или 4:5:6, будет благозвучным. F, А и С также составляют мажорное трезвучие, так же как и G, В и D. Фактически интервалы между нотами задуманы таким образом, что каждая нота может быть частью одного из этих трех мажорных трезвучий.

Если мы рассмотрим отношение частот смежных нот, то оказывается, что В:А относится как 9:8. Отношения между D и С, так же как и G:F, равны 9:8. Отношения E:D и A:G — не совсем такие же, но очень близки — 10:9. Другими словами, из семи интервалов между нотами в пределах одной октавы пять имеют примерно равный размер; мы можем назвать их «целыми интервалами».

Частотное отношение F:E, однако, является только половинкой, поскольку оно равно 352:330, или 16:15; это также истинно и для отношения С:В. (Более просто можно объяснить это другими словами. Отношение 9:8 представляет собой увеличение в частоте на 12,5 процента, а отношение 10:9 представляет собой увеличение на 11,1 процента. Однако отношение 16:15 представляет собой увеличение только на 6,7 процента.) То есть при переходе от В к С или от Е к F мы преодолеваем только «половину интервала».

Если мы начнем с А и будем подниматься по октаве вверх через ноты В, С и так далее, то мы будем проходить интервалы в следующем порядке: тон, полутон, тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон, тон, тон, полутон и так далее. Полутона последовательно отделены двумя целыми тонами, затем — тремя целыми тонами, двумя тонами, тремя тонами и так далее.

Когда мы поем гамму, используя традиционные имена для нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до), благодаря многовековой привычке мы настаиваем на размещении полутоновых интервалов между ми и фа и между си и до. Любая другая последовательность кажется нам звучащей неправильно. Таким образом, мы хотим, чтобы семь интервалов октавы располагались по следующему образцу: тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон.